10 дивовижних парадоксів, які поставлять вас в глухий кут

Парадокси можна зустріти скрізь, від екології до геометрії й від логіки до хімії. Навіть комп’ютер, на якому ви читаєте статтю, сповнений парадоксів.

Ось десять пояснень досить захопливих парадоксів.

Деякі з них настільки дивні, що ми просто не можемо до кінця зрозуміти, в чому суть.

1. Парадокс Банаха-Тарського

Уявіть, що ви тримаєте в руках м’ячик. А тепер уявіть, що ви почали розривати цю кульку на шматки, і шматочки можуть бути будь-якої вподобаної форми. Потім складіть шматочки разом так, щоб вийшло дві кульки замість одної. Який буде розмір цих кульок в порівнянні з оригінальним м’ячем?

Відповідно до теорії множин, отримані кульки будуть того ж розміру і форми, що і вихідний куля. Крім того, якщо врахувати, що кульки мають різний об’єм, то будь-яка з кульок може трансформуватися відповідно до іншої. Це призводить до висновку, що горох можна розділити на кульки розміром з Сонце.

Хитрість парадоксу полягає в тому, що ви можете розривати кулі на шматочки будь-якої форми. На практиці зробити це неможливо – будова матеріалу і, в кінцевому рахунку, розміри атомів накладають деякі обмеження.

Для того щоб дійсно можна було розбити кулю так, як вам більше подобається, вона повинна містити нескінченну кількість доступних нульових точок. Тоді куля з таких точок буде нескінченно щільною, а коли її розірвати, форми шматочків можуть вийти настільки складними, що не матимуть певного об’єму. І ви можете зібрати ці шматочки, кожна з яких містить нескінченну кількість точок, в нову кульку будь-якого розміру. Нова куля як і раніше буде складатися з нескінченних точок, причому обидві кулі будуть однаково нескінченно щільними.

Якщо спробувати втілити ідею в життя, нічого не вийде. Але все виходить чудово при роботі з математичними сферами – нескінченно подільними числовими множинами в тривимірному просторі. Розв’язаний парадокс називається теоремою Банаха-Тарського і грає величезну роль в математичній теорії множин.

2. Парадокс Пето

Очевидно, що кити набагато більші за нас, а значить, у них в організмі набагато більше клітин. І кожна клітина в організмі теоретично може стати злоякісною. Тому кити набагато частіше хворіють на рак, ніж люди, чи не так?

Не зовсім. Парадокс Пето, названий на честь оксфордського професора Річарда Пето, стверджує, що немає кореляції між розміром тварин і раком. Люди і кити мають приблизно однакові шанси захворіти на рак, але деякі породи крихітних мишей мають набагато більше шансів.

Деякі біологи вважають, що відсутність кореляції в парадоксі Пето можна пояснити тим, що більші тварини краще протистоять пухлин: механізм працює таким чином, щоб запобігти мутації клітин в процесі ділення.

3. Проблема теперішнього часу

Щоб щось фізично існувало, воно повинно бути присутнім в нашому світі деякий час. Не може бути об’єкта без довжини, ширини і висоти, і не може бути об’єкта без «тривалості» — «миттєвого» об’єкта, тобто такого, який не існує хоча б якийсь проміжок часу, не існує взагалі.

Згідно універсальному нігілізму, минуле і майбутнє не займають часу в сьогоденні. Крім того, неможливо кількісно визначити тривалість, яку ми називаємо «теперішнім часом»: будь-яку кількість часу, яке ви назвете «теперішнім часом», можна розділити на частини – минуле, теперішнє і майбутнє.

Якщо сьогодення триває, скажімо, секунду, то цю секунду можна розділити на три частини: перша частина буде минулим, друга – сьогоденням, а третя – майбутнім. Третину другої, яку ми зараз називаємо сьогоденням, також можна розділити на три частини. Напевно ви вже зрозуміли ідею – так можна продовжувати нескінченно.

Таким чином, сьогодення насправді не існує, тому що воно не триває в часі. Універсальний нігілізм використовує цей аргумент, щоб довести, що взагалі нічого немає.

4. Парадокс Моравека

При вирішенні завдань, що вимагають вдумливих міркувань, у людей виникають труднощі. З іншого боку, основні моторні та сенсорні функції, такі як ходьба, взагалі не викликають жодних труднощів.

Але коли справа доходить до комп’ютерів, все навпаки: комп’ютерам дуже легко вирішувати складні логічні завдання, такі як розробка шахової стратегії, але набагато складніше запрограмувати комп’ютер так, щоб він міг ходити або відтворювати людську мову. Ця відмінність між природним і штучним інтелектом відома як парадокс Моравека.

Ганс Моравец, науковий співробітник кафедри робототехніки Університету Карнегі-Меллона, пояснює це спостереження ідеєю зворотної інженерії нашого власного мозку. Реверс-інжиніринг найскладніше виконувати на завданнях, які люди виконують несвідомо, таких як рухові функції.

Оскільки абстрактне мислення стало частиною людської поведінки менше 100 000 років тому, наша здатність вирішувати абстрактні проблеми є свідомою. Таким чином, нам набагато легше створити технологію, яка імітує цю поведінку. З іншого боку, ми не розуміємо таких дій, як ходьба або розмова, тому нам складніше змусити штучний інтелект робити те ж саме.

5. Закон Бенфорда

Яка ймовірність того, що випадкове число почнеться з числа «1»? Або з цифрою «3»? Або з “7”? Якщо ви мало знайомі з теорією ймовірностей, ви можете припустити, що ймовірність становить один з дев’яти, або приблизно 11%.

Якщо подивитися на реальні цифри, можна помітити, що «9» зустрічається набагато рідше, ніж в 11% випадків. Крім того, набагато менше цифр, ніж очікувалося, починаються з «8», але колосальні 30% чисел починаються з цифри «1». Ця парадоксальна закономірність проявляється у всіляких реальних випадках, від чисельності населення до цін на акції та довжин річок.

Фізик Френк Бенфорд вперше відзначив це явище в 1938 році. Він встановив, що частота появи цифри як першої падає в міру збільшення цифри від одиниці до дев’яти. Тобто «1» з’являється як перша цифра приблизно в 30,1% випадків, «2» з’являється приблизно в 17,6% випадків, «3» приблизно в 12,5%, і так до тих пір, поки «9» не з’явиться як перша цифра тільки в 4,6% випадків.

Щоб зрозуміти це, уявіть, що ви нумеруєте лотерейні квитки послідовно. Коли у вас пронумеровані квитки від одного до дев’яти, ймовірність того, що будь-яка цифра буде першою, становить 11.1%. Коли ви додаєте квиток номер 10, ймовірність випадкового числа, що починається з «1», збільшується до 18,2%. Ви додаєте квитки з No 11 на No 19, і ймовірність того, що номер квитка починається з «1», продовжує зростати, досягаючи максимуму в 58%. Тепер ви додаєте квиток номер 20 і продовжуєте нумерувати квитки. Шанс того, що число почнеться з «2», зростає, а ймовірність того, що воно почнеться з «1», повільно зменшується.

Закон Бенфорда поширюється не на всі випадки розподілу чисел. Наприклад, набори чисел, діапазон яких обмежений (людський зріст або вага), не підпадають під дію закону. Він також не працює з наборами, які мають лише один або два порядки.

Однак закон застосовується до багатьох типів даних. В результаті влада може використовувати закон для виявлення шахрайства: коли надана інформація не відповідає закону Бенфорда, влада може зробити висновок, що хтось сфабрикував дані.

6. С-парадокс

Гени містять всю інформацію, необхідну для створення і виживання організму. Само собою зрозуміло, що складні організми повинні мати найскладніші геноми, але це не так.

Одноклітинні амеби мають геноми в 100 разів більше, ніж люди, насправді вони мають, мабуть, найбільші відомі геноми. Причому у дуже схожих видів геном може кардинально відрізнятися. Ця дивина відома як С-парадокс.

Цікавий висновок з С-парадоксу полягає в тому, що геном може бути більше, ніж необхідно. Якщо використовувати всі геноми в ДНК людини, то кількість мутацій за покоління буде неймовірно великим.

Геноми багатьох складних тварин, таких як люди і примати, включають ДНК, яка нічого не кодує. Ця величезна кількість невикористаної ДНК, яка сильно варіюється від істоти до істоти, здається, не залежить ні від чого, що створює С-парадокс.

7. Безсмертна мураха на мотузці

Уявіть собі мурашки, що повзає по метровій гумовій мотузці зі швидкістю один сантиметр в секунду. Також уявіть, що мотузка тягнеться на один кілометр кожну секунду. Чи дійде мураха коли-небудь до кінця?

Здається логічним, що нормальний мураха на таке не здатна, адже швидкість його пересування набагато нижче швидкості, з якою натягується мотузка. Однак з часом мураха досягне протилежного кінця.

Коли мураха ще навіть не почав рухатися, 100% мотузки лежить перед ним. Через секунду мотузка стала набагато більше, але і мураха подолала деяку відстань, і якщо рахувати в процентному співвідношенні, то відстань, яке йому належить пройти, зменшилося – воно вже менше 100%, хоч і незначно.

Хоча мотузка постійно натягується, невелика відстань, пройдене мурахою, також стає більше. І, хоча в цілому мотузка подовжується з постійною швидкістю, шлях мурашки з кожною секундою стає трохи менше. Мураха теж весь час продовжує рухатися вперед з постійною швидкістю. Таким чином, з кожною секундою відстань, яке він вже пройшов, збільшується, а відстань, яке йому належить пройти, зменшується. У відсотках, звичайно.

Є одна умова для того, щоб проблема мала рішення: мураха повинна бути безсмертною. Так, мураха досягне кінця за 2,8×1043.429 секунди, що трохи довше, ніж існує Всесвіт.

8. Парадокс екологічної рівноваги

Модель хижак-жертва – це рівняння, яке описує реальну екологічну ситуацію. Наприклад, модель може визначити, наскільки зміниться чисельність лисиць і кроликів в лісі. Скажімо, трави, якою харчуються кролики, стає все більше в лісі. Можна припустити, що такий результат сприятливий для кроликів, адже при великій кількості трави вони будуть добре розмножуватися і збільшувати свою чисельність.

Парадокс екологічної рівноваги свідчить, що це не так: спочатку поголів’я кроликів дійсно буде збільшуватися, але збільшення популяції кроликів в закритому середовищі (лісі) призведе до збільшення популяції лисиць. Тоді чисельність хижаків збільшиться настільки, що вони спочатку знищать всю здобич, а потім вимруть самі.

На практиці цей парадокс не поширюється на більшість видів тварин хоча б тому, що вони не живуть в закритому середовищі, тому популяції тварин стабільні. Крім того, тварини здатні еволюціонувати: наприклад, в нових умовах у результаті з’являться нові захисні механізми.

9. Парадокс Тритона

Зберіть групу друзів і подивіться це відео разом. Коли воно закінчиться, нехай кожен висловить свою думку про те, збільшується чи зменшується звук протягом усіх чотирьох тонів. Ви будете здивовані, наскільки різними будуть відповіді.

Щоб зрозуміти цей парадокс, потрібно дещо знати про музичні ноти. Кожна нота має певну висоту, яка визначає, чи чуємо ми високий або низький звук. Нота наступної, більш високої октави звучить в два рази вище, ніж нота попередньої октави. Причому кожну октаву можна розділити на два рівних тритонових інтервалу.

На відео тритон розділяє кожну пару звуків. У кожній парі один звук являє собою суміш однакових нот з різних октав – наприклад, поєднання двох нот С, де одна звучить вище іншої. Коли звук у тритоні змінюється від однієї ноти до іншої (наприклад, G-дієз між двома C), цілком розумно інтерпретувати ноту як вищу або нижчу за попередню.

Ще одна парадоксальна властивість тритонів – відчуття, що звук постійно стає нижче, хоча висота звуку не змінюється. У нашому відео ви можете спостерігати ефект цілих десять хвилин.

10. Ефект Мпемби

Перед вами дві склянки води, абсолютно однакові у всіх, крім одного: температура води в лівій склянці вище, ніж у правій. Помістіть обидва склянки в морозильну камеру. В якому склі вода замерзне швидше? Можна вирішити, що в правильному, в якому вода спочатку була холодніше, але гаряча вода замерзне швидше, ніж вода кімнатної температури.

Цей дивний ефект названий на честь студента з Танзанії, який спостерігав його в 1986 році, коли заморожував молоко для приготування морозива. Деякі з найбільших мислителів – Аристотель, Френсіс Бекон і Рене Декарт – спостерігали це явище раніше, але не змогли пояснити його. Аристотель, наприклад, висунув гіпотезу про те, що якість посилюється в середовищі, протилежному цій якості.

Ефект Мпемби можливий завдяки кільком факторам. У склянці гарячої води може бути менше води, так як частина її випарується, і в результаті менше води повинно замерзнути. Також гаряча вода містить менше газу, а значить, в такій воді легше будуть відбуватися конвекційні потоки, отже, їй буде легше замерзнути.

Інша теорія заснована на тому, що хімічні зв’язки, які утримують молекули води разом, слабшають. Молекула води складається з двох атомів водню, пов’язаних з одним атомом кисню. Коли вода нагрівається, молекули трохи віддаляються одна від одної, зв’язок між ними слабшає, і молекули втрачають частину енергії – це дозволяє гарячій воді охолоджуватися швидше, ніж холодній.

Джерело